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微积分基础知识教程(轻松学习微积分)

100次浏览     发布时间:2024-10-02 10:07:11    

微积分的思想两大基础是:函数、极限

一、函数

1.1 数学上函数的定义:给定一个数集A,假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示。

那么在物理学领域对应的函数概念是什么呢?

物理学中,在课本上经常看到一些物理公式、解题时经常列一些方程等等,其本质就是函数。数学上,函数可以描述x和y之间的关系;同理,物理上的公式(方程)也可以描述两个物理量之间的关系。

例如:

其实物理公式(方程)本质就是就是函数,用来描述物理量之间的关系;首先我们要扭转一个观念,我们在平常解题的习惯中认为方程是针对的某一时刻、某一点或者某个状态,那是狭义的。方程本来是描述的整个物理过程(特殊情况除外),只有带入具体数据时,才是描述的某一个特定点或状态。

例如:在下图中,函数都是描述的一条直线,而不是一个点。

1.2 函数概念理解之后,我们来看积分对象:微分方程

如果想使用微积分解决问题,首先要列出微分方程,然后对微分方程进行积分。

那什么是微分方程呢?

我们之前说过,方程的本质就是函数,数学上定义微分方程:指含有未知函数及其导数的关系式。物理上就是含有微分变量的方程(也可以理解为含有微分变量的函数)。

例如 速度:dx=vdt

物理角度:无限小的一段位移dx,我们可以认为是匀速运动,经过很短的时间dt,对应的速度就是v。数学角度:x是关于时间的t的函数,等式左边对因变量x求导,等式右边对自变量t求导。另外,dx=vdt可以表示整个物理过程中的速度,当题中已知速度关于时间的具体表达式时,我们就可以对其进行积分求解,进而求出位移x关于时间t的表达式。

同理加速度:dv=adt

二、极限

2.1 数学中的“极限”指:某一个函数中的某一个变量,此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中,逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”。

例如函数:y=arctanx,逐渐逼近π/2,但是又不等于π/2。

2.2 物理中通常涉及的到是某个物理量达到无穷大量时,对应函数的极限。例如万有引力,当r→∞时,万有引力趋于零。另外还有一个概念,无穷小量,这个在处理近似问题时会经常用到。我们在利用无穷小量处理近似问题时经常有这样的困惑:那些量可以舍去,那些量不可以舍去?怎么判断?在解决这个问题时,我们先引入一个概念高阶小量。无穷小量二次及二次以上的量都称为高阶小量。在做近似处理时,情况一:式子不含常量时,把高阶小量舍去,保留一阶的无穷小量;情况二:式子含常量时,舍去无穷小量。

例如:

其中 ri-r(i-1)=△x, △x趋于0(即无穷小量),很多人不知道该处理。其实这里就是舍去含有无穷小量项,用的熟练以后可以直接使用,接下来我们进行简单推导:

到这里已经很清楚了,含有△x的项都需要舍去(因为有限量乘以无穷小量还是无穷小量,仍然趋于零)。这样原式求和就变得很简单了。

三、用微积分解决物理问题的一般步骤

1. 建立适当坐标系(本质参考系的选取)

坐标系的选取直接关系到积分的难易。

2. 建立微分表达式

通常我们理解的物理方程可以描述物理过程,同样微分方程也可以描述物理过程。有的可以直接建立微分表达式(容易);有的不能直接建立微分表达式(困难);如何利用已知条件建立的微分表达式?本质是找到积分变量与求解变量之间的微分表达式。

3. 确定积分上下限

定积分的上下限和物理过程中的边界条件有关系,有时候物理问题中明确已知边界条件,有时候则需要自己根据已知条件、或者物理过程的限制进行确定。不定积分根据边界条件确定常数。

4. 积分计算结果

纯数学计算,掌握常见函数积分和常规方法即可,复杂可以对应查积分表。

四、不同模块的实例来学习微积分的应用

运动学篇:

两边积分就可以求出x关于t的方程,利用t=0时,x=0的边值条件确定常数C。对x(t)求一次导得到速度与时间的关系式;求二次导得到加速度与时间的关系。

:以地面为参考系,以导弹发射点为原点,导弹与飞行物初始位置连线方向为x方向,如图建立直角坐标系。我们任取轨迹上一点A(x,y),则有:

这部分主要是在寻找dxdy之间的关系,建立微分表达式,本例题几乎涵盖了常见的使用方法;有人质疑①式不是已经有dxdy之间的关系式,但是三角函数不是已知量,且θ是随x,y变化的量不能直接积分。

微分方程积分求解过程如下(积分二次微分方程):

所以导弹的轨迹方程为: