小升初集训系列
第四单元 圆柱和圆锥
一、认识圆柱、圆柱的组成部分
圆柱的特征:
(1)圆柱的上、下两个面都是圆形的,大小相同,叫做底面。
(2)圆柱周围的面是曲面,我们叫它侧面。
(3)圆柱两底之间的距离叫做高,一个圆柱有无数条高,它们都相等。
二、圆柱的侧面以及侧面积的求法
1.圆柱的侧面展开图及其形状:
(1)沿着高展开,展开图是长方形,长方形的长等于圆柱的底面周长,长方形的宽等于圆柱的高;当底面周长和高相等时(h=2πr),侧面展开图为正方形。
(2)如果不沿着高展开,展开图形是平行四边形或不规则图形。
(3)无论如何展开都得不到梯形。
2.圆柱的侧面展开后各个部分与圆柱的关系:
展开后长方形的长等于圆柱的底面周长,宽等于圆柱的高。
3.圆柱的侧面积=底面的周长×高,即S侧=Ch=πd×h=2πr×h。
三、圆柱的表面积的计算
1.圆柱的侧面积加上两个底面的面积就是圆柱的表面积。
2.圆柱的表面积=2×底面积+侧面积,即S表=S侧+S底×2=2πr×h+2πr²。
3.圆柱的切割引起表面积的变化:
(1)横切:切面是圆,表面积增加2个底面积,即S增=2πr²。
(2)竖切(过直径):切面是长方形(如果h=2r,切面为正方形),该长方形的长是圆柱的高,宽是圆柱的底面直径,表面积增加两个长方形的面积,即S增=4rh。
四、圆柱表面积的计算在实际生活中的应用
在实际生活中,有时需要计算圆柱的表面积,如制作水桶时,不要上底面;制作圆柱形通风管时,不需要两个底面,这时需要计算圆柱的侧面积。
五、圆柱的体积以及计算公式的推导和应用
1.圆柱的体积:圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱的体积。
V柱=Sh=πr2h。
2.不规则物体体积的计算。
如计算左图这样的不规则图形的体积时,一般将两个完全一样的图形拼成一个圆柱,求出圆柱的体积后,再除以2。
4.计算空心圆柱的体积时,一般用底面圆环的面积乘高来计算。
六、容积的意义
容器的容积:容器所能容纳物体的多少叫做容器的容积。
七、容积与体积的区别
1.意义不同:体积是指物体所占空间的大小。容积是指容器(杯子、盒子、油桶等)所能容纳物体的大小(即内部体积)。
2.度量方法不同:计算体积时是从物体的外面去测量。例如:计算用玻璃做成的长方体鱼缸的体积,就要从外面去分别测量出长方体鱼缸的长、宽、高;如果要计算这个长方体鱼缸的容积(或容量),就必须从鱼缸的里面去测量,因为做鱼缸的玻璃是有一定厚度的。
3.计量单位不同:计算物体的体积,必须使用体积单位“立方米、立方分米、立方厘米”等。计算容积一般使用容积单位“升、毫升”;但计算较大物体的容积时,也拿体积单位“立方米”来通用,因为升和毫升只限于计量液体,如桶装的汽油、小瓶装的药水。
八、容积的计算、运用容积的计算解决问题
1.容积的计算:计算容器的容积时,要从里面测量圆柱形容器的底面直径和高。
2.计算容器的容积的方法一般采用计算体积的方法来计算。
3.不规则物体的体积或容积的计算:利用转化思想,化不规则图形为规则图形。
九、圆锥的认识、圆锥体积的计算
1.圆锥的认识:
(1)底面:圆锥的底面是一个圆。
(2)侧面:圆锥的侧面是一个曲面,展开图是扇形。
(3)高:从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高,圆锥只有一条高。
2.圆锥的体积:一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的三分之一，。根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr2h),得出圆锥体积公式:V=SH/3
4.圆柱与圆锥的关系:
(1)与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
(2)体积和高都相等的圆锥与圆柱,圆锥的底面积是圆柱的3倍。
5.计算组合图形的体积时,一般先分别求出基本图形的体积,再相加求和。
十、运用圆柱、圆锥的体积计算解决简单的实际问题
1.运用圆锥的体积解决简单的实际问题时要注意单位的统一。
2.解答有关等积变形问题时,一般利用数学的转化思想,抓住体积不变,形状改变来计算。
十一、木材加工问题
1.求圆木的体积可以根据“圆柱的体积=底面积×高”来计算。
2.横截面是正方形的木材叫做方木,方木的体积=2r2h。
典型案例分析：
1、大厅里有5根柱子,每根柱子的底面周长是25.12分米,高是9分米。如果每立方米需要混凝土380元,这5根柱子共需要混凝土多少元?最后需要把柱子刷油漆，每平方分米油漆需要0.8元，那么漆5根柱子共需要油漆费多少元？
解析：混凝土浇筑成柱子，是求圆柱体的体积，
3.14×(25.12÷3.14÷2)²×9=452.16(立方分米)
452.16×5×380÷1000≈859.104(元)
需要把柱子刷油漆，是求圆柱体的侧面积。
25.12×9=226.08(平方分米)
226.08×0.8×5=904.32(元)
备注：实际应用中，一定要具体情况具体分析，题目要求的是面积还是体积。
(3)一个长方体容器,底面长3分米,宽1.5分米,放入一个底面半径1分米的圆锥形铁块后,水面升高了0.3分米,这个铁块的高是多少分米?
解析：水中圆锥体的体积就是长3分米,宽1.5分米高0.3分米的长方体的体积。接着已知圆锥体体积和底面积求高。
3×1.5×0.3=1.35立方分米
1.35×3÷（3.14×1²）≈1.29分米
拓展思考：
一根圆柱形木料，如果截成两个小圆柱，它的表面积就增加628平方厘米;如果沿着直径劈成两个半圆柱体，它的表面积就增加240平方厘米。求圆柱形木料的表面积。
解析：圆柱体的底面积：628÷2=314平方厘米
因此推出圆柱体底面半径：S底=πr²。r=1厘米
竖切(过直径):切面是长方形，该长方形的长是圆柱的高,宽是圆柱的底面直径,表面积增加两个长方形的面积 h=240÷2÷（2×1）=60厘米
侧面积=2×3.14×1×60=376.8平方厘米
圆柱体表面积:376.8+314×2=1004.8平方厘米。
